Полезные вопросы

"Если А, то В" означает, что при истинном А обязано быть истинным и В, а при ложном А В может вести себя как угодно. Единственное, когда функция импликации будет ложна - ложное В при истинном А, а три остальных варианта (истина-истина, ложь-истина, ложь-ложь) устраивают.

Функция импликации не симметрична, так что ваш вариант "наоборот" неверен.

Edited Date: 2016-04-03 01:54 pm (UTC)

From:

а а (from livejournal.com)

Ок, ясно.
А как понять таблицу (А 1 1 0 0 - итог 1 0 1 1). Как при ложном А (0) итогом может быть правда, если А вроде как обязательное условие?

From:

Истинность А - не обязательное условие.

Пример: если человеку прострелили сердце, он умер (обязательное следствие).
Прострелили и умер - такое возможно (см. утверждение)
Прострелили и не умер - такое невозможно (суть импликации)
Не прострелили и умер - такое возможно (мало ли из-за чего, это не отрицается в утверждении)
Не прострелили и не умер - такое возможно (ну понятно)

From:

а а (from livejournal.com)

А какое условие обязательное? Это же логическая конструкция, должно же там хоть что-то быть обязательное.
Примеры не понимаю.

From:

Обязательное - то, что при истинности первого должна быть истинность второго, всё.

From:

а а (from livejournal.com)

Да, стало ясно. А требует В - это правда (1 правильный ответ). Что требует не-А - тоже правда во всех остальных случаях, а их всего 2.
Проблема со словом "правда". Трудно оказалось понять, что "правда" не предполагает знания ситуации. Это лишь отражение существования А либо не-А.
Спасибо)

From:

Импликация,

А => Б

по определению равна

не А или Б

то есть, либо "не А", либо "Б", либо и то и другое.

Любая формула

Ф

может быть подвергнута двойному отрицанию, и это не изменит её

не не Ф = Ф

кроме того, "не" можно "раскрывать", для этого "не" заменяется на пусто, пусто заменяется на "не", "или" заменяется на "и", "и" заменяется на "или" (законы де Моргана)

таким образом

не А или Б

деёт

не (не (не А или Б))

даёт

не (А и не Б)

То есть, импликация, это то же самое, что неправда, что А верно, а Б неверно.

Наоборот, то есть,

не (Б и не А)

это другое отношение, а именно

Б => А

Математика -- это "формальная" наука, то есть, в неё надо "играть" по формальным правилам, а если пытаться всё понять интуитивно, то рискуешь ошибиться, так как мозг несовершен.

Edited Date: 2016-04-03 02:27 pm (UTC)

From:

а а (from livejournal.com)

Да после вашего коммента я к своему мозгу и слово "несовершенен" стесняюсь приложить, это ему жирно будет.
Вкратце - спасибо, но мы ничего не поняли.

From:

Учитель: Если А, то В. Понятно?
Ученик: Понятно. А если не-А?
Учитель: Тогда все что угодно.
Ученик : Понял.
Учитель: Сейчас проверим. Если дважды два четыре, то на Луне нет атмосферы. Верное утверждение?
Ученик: А при чем дважды два и атмосфера?
Учитель: Неважно. Главное - имеет ли место А и верно ли В.
Ученик: Тогда ладно. Значит, верное.
УЧитель: Если дважды два пять, то на Луне нет атмосферы. Верно?
Ученик: Выходит, верно.
Учитель: Если дважды два пять, то Луна сделана из зеленого сыра. Верно?
Ученик: Верно.
Учитель: Молодец! Все правильно понял.

Edited Date: 2016-04-03 02:55 pm (UTC)

From:

а а (from livejournal.com)

Ну так выходит, что верно вообще что угодно, главное подставь перед первым обстоятельством слово "если", а перед вторым "то".
И каков смысл такой конструкции, если она зависит не от всеобщей логики, а от союзов русского языка?

Edited Date: 2016-04-03 03:09 pm (UTC)

From:

Нет. Верно не все. "Если дважды два четыре, то на Луне растут розы" - неверно.
Еще раз. Суждение "Если А, то В" называется импликацией. Такое суждение неверно, если верно А, но неверно В. Во всех остальных случаях оно верно.
Я понимаю причину ваших недоумений. Она в том, что здесь на самом деле не предполагается причинно-следственная связь между А и В, которую мы интуитивно хотим чувствовать в понятии следования одного из другого. Но вот так в формальной логике оказалось удобнее.

From:

а а (from livejournal.com)

У меня перегорает мозг.
"Такое суждение неверно, если верно А, но неверно В".
Но ведь таблица:
001
011
100
111
Там при неверном А (первые два нуля) утверждение верно.

From:

Если А неверно, то все суждение верно независимо от верности или неверности В.
Если А верно, то суждение верно, если верно В, и неверно, если В неверно.
Ровно то же и в таблице. Если А - 0, то есть неверно, то суждение 1, то есть верно, при любом В.
И тд. Все просто.
Просто запомните: "Из неверного следует все, что угодно".

From:

а а (from livejournal.com)

Удалось изловить хвостик смысла. Проблема в слове правда.
Импликация позволяет считать правдой понятие "что угодно", главное - значение А?

From:

В обычных рассуждениях, неформальных, нас в основном волнует вопрос истинности "следствия", то есть В. А здесь речь идет не об этом, а о истинности высказывания "Если А, то В". Постарайтесь прочувствовать разницу.
Запомните суть дела в простой фразе: "В формальной логике считается, что из верного следует верное, а из неверного все, что угодно". И все.

From:

а а (from livejournal.com)

"В формальной логике считается, что из верного следует верное, а из неверного все, что угодно"
Все, что угодно - то есть правда (в логике таблицы)? То есть все, что истекает из неверного, по умолчанию правда?
Тут надо какое-то другое слово тогда придумывать. Потому что соотношение нормального понятия правда и вот такой мыслительной конструкции уж очень неблизкое, и нелинейное, что ли.

From:

Не то, что вытекает - правда, а импликация верна. Говорю же: прочувствуйте разницу, в этом вся суть. "На Луне растут розы" - неверно, неправда, ложь. "Если дважды два пять, то на Луне растут розы" - верное с точки зрения формальной логики высказывание. Потому что дважды два - не пять.

From:

а а (from livejournal.com)

Стало ясно. То есть то, что пишут в таблице в третьем столбце как "правда" - это верность конкретной логической цепи, не более. А я ее считывала как правду вообще, в рамках общей картины мироздания (тем паче примеры обычно живые - про людей и все такое представимое).
Большое спасибо)

From:

Ура!

From:

Правда относительна заключительного значения.

(На Луне растут розы) = неправда.

(Неправда, что на Луне растут розы) = правда.

(Я наврал, сказав, что неправда, что на Луне растут розы) = неправда (т.е., на самом деле, не наврал).

(Неправда, что я наврал, сказав, что неправда, что на Луне растут розы) = правда.

И так далее.

В случае с имликацией, вторая колонка -- это вывод импликации, а третья колонка -- её оценивает:

(0 => 0) = 1 по русски: из обмана следует обман, и это правда
(0 => 1) = 1 по русски: из обмана следует правда, и это правда
(1 => 0) = 0 по русски: из правды следует обман, и это обман
(1 => 1) = 1 по русски: правды следует правда, и это правда

То есть, все первые колонки таблицы истинности соответствуют некоей логической связке, а последняя колонка говорит, правильно ли была записана связка или ошибочно

Можно добавить ещё колонку, оценив с её помощью произвольные суждения

((0 => 0) = 1) = 0 Катя думает, что это правда, что из обмана следует обман, и Катя права.
((0 => 1) = 0) = 1 Катя думает, что это неправда, что из обмана следует правда, но Катя ошибается
((1 => 0) = 0) = 0 Катя думает, что это неправда, что из правды следует обман, и Катя права
((1 => 1) = 1) = 0 Катя думает, что это правда, что из правды следует правда, и Катя права

Edited Date: 2016-04-03 05:42 pm (UTC)

From:

а а (from livejournal.com)

Спасибо!
Версия "по русски" хорошо объясняет. С Катей похуже - я высматриваю соответствующее членение и с Катей не получается уже (ну то есть неясно, какой набор слов соответствует А, какой В).
Но это так, к слову, в целом уже понятно)

From:

> С Катей похуже

То, что думает Катя, указано во внутренних скобках. Это выражение по форме (но не по значениям) соответствует строчкам из таблицы истинности по имликации, поэтому и соответствие такое же, как и в "переводе" выше, просто русские слова вольно переставлены.

Суть в том, что любое логическое выражение можно рассматривать, как мнение какого-то человека (Кати) и само это выражение "проверить" на истинность. Так можно получать систему "вложенных" истин.

From:

> Все, что угодно - то есть правда (в логике таблицы)?

То, что следует, указано во второй колонке.

Из лжи следует и правда, и ложь.

Потому что при 0 в первой колонке, во второй бывает и 0 и 1.

А третья колонка -- это те ситуации, которые мы отбираем (путём выставления там единицы).

From:

> Там при неверном А (первые два нуля) утверждение верно.

При неверном А получается, что "из лжи следует что угодно".

На основании ложного утверждения можно доказать что угодно, это одно из важнейших свойств лжи.

From:

Про лингвистику в логике вообще лучше не вспоминать, в русском языке "или" обычно означает исключающее, а не простое логическое "или", то есть одновременно А и В истинными быть якобы не могут.

From:

а а (from livejournal.com)

С или мне как раз более-менее ясно (хотя языковая трудность, действительно, очевидна). Мне хватило понимания, что простая дизъюнкция - это ну типа "мерцание" предметов в одном поле (может быть один или может быть другой), а строгая - в одном поле только один предмет.
Импликация же мне недоступна.

From:

Если ты купил что-то, то дай требуемую сумму. Если не покупал - свободен, можешь, конечно, дать мне деньги просто так, но можешь и не давать, не обязан. Но если купил - давай деньги.

From:

Пардон, я думал это уже есть в той книжке, которую Вы читаете.

From:

pyka-npu3paka.livejournal.com

Проще разобраться если представить импликацию как математическую функцию двух переменных.
Есть два аргумента - А и В. Импликация - это значение функции сразу от А и В. То есть при двух значениях обоих аргументов, правда/ложь или математически 1 и 0, функция может принимать также два значения, 1 и 0.
Всего таких комбинаций от двух аргументов четыре:
001
011
100
111
Отсюда видно, что только в одном случае импликация ложна - когда ложен второй аргумент, то есть следствие.
Простым языком такая ситуация выражается как "не следует". Например из выражения "Если все люди смертны, то Христос воскрес" наглядно виден пример ложной импликации - второй аргумент (Христос воскрес) - ложный и сама импликация (выражение типа "если...то...) - ложна.
Так понятнее?)

From:

а а (from livejournal.com)

"Всего таких комбинаций от двух аргументов четыре... Отсюда видно..."
Дак то кому видно. Мне не видно. Вот из чего у вас такой вывод? Есть ведь и другие таблицы комбинаций, там иные варианты итогов. Я понимаю, что другие таблицы это другой смысл, ну так именно смысл импликации мне и не ясен.

From:

Смысл импликации - отсечь невыполнение следствия при выполнении причины. Если причина есть, то следствие должно быть, а если причины нет, то на нет и суда нет, любые исходы возможны.

From:

pyka-npu3paka.livejournal.com

Иипликация - это логическая операция по выведению истины (или лжи) из высказывания (любого).
Если начальное высказывание истинно, а вывод ложен, то тогда и только тогда и само выведение (импликация) ложно.
Иных вариантов значения импликационной функции нет, то, о чем вы говорите - таблицы для исчисления высказываний. Они выводятся из тех четырех вариантов, которые я выше привел.

From:

> Вот из чего у вас такой вывод?

Если функция одного аргумента, то комбинаций аргументов может быть две:

0
1

Если функция двух аргументов, то вомбинаций аргументов может быть 4:

00
01
10
11

Других просто нет. Возможность посчитать комбинации вытекает из того, что аргументов у нас только два: 0 (ложь) и 1 (истина).

Поэтому, таблица истинности любой функции двух аргументов выглядит так:

00?
01?
10?
11?

Где вместо вопросов ставится то, что функция "выдаёт".

Или выдаёт так:

000
011
101
111

И выдаёт так:

000
010
100
111

Ну а импликация выдаёт так:

001
011
100
111

Чтобы понять, что операция "думает" (каково её "мнение", в чём она "уверена"), нужно оставить в таблице только те строчки, где в третьем столбце стоит 1.

"Или" думает так:

01
10
11

Это мнение "или": есть только второе, или есть только первое, или есть и первое и второе

И думает так:

11

Это мнение "и": есть и первое и второе.

А импликация думает так:

00
01
11

Мнение импликации: если нет первого, так всё равно, что второе, а если есть первое, то второе обязательно есть.

Во всех случаях я убрал строчки с нулём в третьей позиции и убрал саму эту позицию.

Есть ещё операция "не", она одноместная, у неё таблица истинности

01
10

Если проделать с этой таблицей ту же манипуляцию, то получится

0

То есть, операция "не" "уверена во" лжи.

From:

Википедия очень хорошо объясняет:

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

From:

а а (from livejournal.com)

Не) Я этот пример вообще не доезжаю.

From: