Этакая нестандартная тригонометрическая задача

[egor-13.livejournal.com]

..А может, стандартная (для математика-тополога), но я просто об этом не знаю?
В общем, так. Как известно, если некую фигуру вырезать из бумаги и подвесить сперва за любую точку, а потом за другую, то две линии, проведенные от точки подвешивания отвесно, пересекутся в ее центре тяжести.
А можно ли рассчитать ту же самую точку, в которой окажется центр тяжести, не вырезая и не подвешивая? То есть: имеется многоугольник (неправильной конфигурации, но внутри которого все углы меньше 180 градусов) - как можно рассчитать (и можно ли вообще) центр этого многоугольника по координатам его вершин, если он построен на обычной координатной сетке?

Comments

[egor-13.livejournal.com]

Большое спасибо! Но если не трудно, не могли бы Вы подкинуть рисунок, как это сделать? пока что-то в голове картинка не сложилась.

[artemis-r.livejournal.com]

РИсунок не могу. Попробуйте так. Берете любую прямую и через все углы многоугольника проводите параллельные прямые. Середины этих отрзков представляют собой ломаную.
Потом берете вторую линию - и тоже через все вершины проводите параллели и рисуете вторую ломаную.
На пересечении центр тяжести.

[egor-13.livejournal.com]

Их отрезки - это между чем и чем? (что представляют из себя концы отрезка: пересечения линии со сторонами многоугольника?)

[egor-13.livejournal.com]

Ага, понял, вспомнив первый ответ. Спасибо!

[egor-13.livejournal.com]

Итак, графически задача решена. Теперь бы еще узнать, по КООРДИНАТАМ ВЕРШИН можно ли как-то рассчитать координаты центра.

[artemis-r.livejournal.com]

Единой формулы, естественно, не существует, т.к. у нас речь идет о ломаной и отрезках.
Но алгоритм такой.
Допустим, у нас есть вершины А1 (x1,y1), A2(x2,у2) и т.д.
1. Рассчитаем стороны многоугольника. Каждый отрезок задается
а) уровнением прямой, проходящей через 2 соседние вершины, для этого надо решить систему уравнений типа
Yn = K*Xn + B
Yn+1 = K*Xn+1 + B
, получаем K=(Yn - Yn+1)/(Xn - Xn+1) В = Yn - Xn*(Yn - Yn+1)/(Xn - Xn+1)
в результате получаем уравнение Y = (X-Xn)*(Yn - Yn+1)/(Xn - Xn+1) + Yn

б) неравенствами, ограничивающими занчения Х и Y между соответствующими координатами вершин. Например, Xn <= X <= Xn+1

2. Проводим сначала через все вершины прямые, параллельные оси ОХ - y=y1, y=y2 и пр.

3. Сравниваем полученные прямые с неравенствами для сторон. Там, где значение y попадает в нужный интервал - рассчитываем кординату пересечения прямой ( Y = Ym) со стороной. ДЛя этого нужно решить уравнение:
Ym = (X-Xn)*(Yn - Yn+1)/(Xn - Xn+1) + Yn
Получим точку с координатами Х=(Xn - Xn+1)*(Ym-Yn)/(Yn - Yn+1) + Xn.

4. Далее, находим середины отрезков между точкой пересечения со стороной и вершиной, из которой опущена прямая.

5. Далее проводим чере5з вершины линии типа X=XmЮ и аналогично находим медианы.

[egor-13.livejournal.com]

Данке шён!

[yokkavi.livejournal.com]

А если взять среднее арифметическое координат всех вершин по Х и потом ср ар координат по Y не получится той же точки?.....

[yokkavi.livejournal.com]

ух ты, акая глупость...=Р

[egor-13.livejournal.com]

А кстати посмотрим, посмотрим.. причем возьмем-ка не сренее арифметическое ,а геометрическое, а то и гармоническое. Поскольку мне точность тут нужна не максимальная, а оптимальная, то как знать...
Но уже не сегодня.

[egor-13.livejournal.com]

А что ж, можно попробовать определить сначала построительным путем и потом посмотреть, совпадет ли среднее. Если не забуду, отпишусь о результате.

[yokkavi.livejournal.com]

Нее... Здесь получится только с симметричными фигурами, кажется... А вот со среднем геометрическим... Отпишитесь обязательно!