Векторное уравнение

[cola-reanima.livejournal.com]

Есть уравнение AxB=C, все 3 -- векторы, B и C известны. Как найти A?
Получаем 3 уравнения:
a2*b3 - a3*b2 = c1;
a3*b1 - a1*b3 = c2;
a1*b2 - a2*b1 = c3;
При решении методом Гаусса последнее вырождается в 0 = 0.
Больше в голову ничего не приходит.. Чего делать с этим?

Comments

[umkaline.livejournal.com]

A=CB^(-1)

[cola-reanima.livejournal.com]

Я может сильно туплю, но как выполнить ^-1 с вектором?

[umkaline.livejournal.com]

простите, невнимательно прочла условие, показалось, что матрица

[karakhan.livejournal.com]

Я, видимо, чего-то не понимаю... А разве не везде левые части уравнений обращаются в ноль? Или это такое хитрое обозначение, чтобы враги народа не поняли?

[cola-reanima.livejournal.com]

Исправил..

[karakhan.livejournal.com]

А я тут глянул и с испугу накатал коммент с извинениями в ложном обвинении... =)))
Сейчас подумаем, откуда тут ноги растут... ;)

[cola-reanima.livejournal.com]

Ну Гаусс много чего придумал, может вы не о том подумали =] Метод решения систем линейных уравнений имелся в виду, приведение матрицы коэффициентов в левой части к треугольному виду.

[karakhan.livejournal.com]

Да-да, я об этом... Просто какой-то совершенно незнакомый мне метод перехода от векторов к матрице (хотя я, признаться, в математике не силен)...
Да и произведение векторов - я знаю только как сумму произведений соответствующих координат =)))

В общем, просьба уточнить: "B и C известны" - что именно о них известно? Может, там и решается все по-другому, без всяких матриц?

[cola-reanima.livejournal.com]

Вообще, для меня они и были просто "известны".. Можно считать, что известны их координаты. Уравнения эти получил из правила векторного умножения векторов. Я тоже думаю, что тут как-то по-другому надо подойти к решению, система эта, видимо, не решается.. А как по-другому решать -- вот тут как раз у меня ступор =]

Рабоче-крестьянским методом

[karakhan.livejournal.com]

Ок, если у тебя есть координаты - подставляй их числовые значения в систему.
Далее, выражай из одного уравнения, допустим, А1 через А3, из второго А2 через А3. Подставляй эти выражения в третье уравнение.

Но это, разумеется, когда тебе известны координаты. Решать эту задачу в общем виде - ИМХО, малореально (просто выкладки получатся очччень объемными)...

Вроде все так... Удачи!

[korwi.livejournal.com]

Замечание: Вообще через компоненты и матрицы такую задачу решать = изврат. Но раз душа желает напишу такое решение.

Вся проблема от того, что такой а) вектор не единственный и б) задача не всегда имеет решение.
(Я не уверен, что моя псевдографика отобразится правильно, но общую идею в любом случае можно уловить)


1) Сводим векторное уравнение к матричному.
|| 0 -b3 -b2|| ||a1|| ||c1||
||-b3 0 -b1||*||a2||=||c2||
||b2 -b1 0|| ||a3|| ||c3||

2) Применяем метод Гаусса к расширенной матрице системы:
Начало:
|| 0 -b3 -b2|c1||
||-b3 0 -b1|c2||
||b2 -b1 0|c3||
Конец прямого прохода:
||0 0 0| c1b1+c2b2+c3b3 ||
||0 1 -b2/b3|-(c2b2+c3b3)/(b1b3)||
||1 -b1/b2 0| c3/b2 ||

3) Мы видим, что система будет иметь решение только, если c1b1+c2b2+c3b3 = 0. Т.е. если векторы b и с ортогональны. Это кстати понятно и без выкладок - по определению векторное произведение ортогонально обоим векторам, его образующим.

4) Т.к. у нас одна строка занулилась, значит решение будет в виде x1+k*x2. Где x1 - частное решение нашей системы, а x2 - решение однородной, k - произвольное действительное число.

5) x2 = (b1,b2,b3), т.е. совпадает с b. Что в общем-то логично. =)

6) x1 предлагаю найти Вам самим. Метод: в системе после слов "конец прямого прохода" отбрасываем нулевую строку, одну из компонент принимаем равной 1, находим остальные. Вообще, если нужно всё строго сделать, то можно отыскать в учебнике нужные теоремы. И даже упомянуть присоединённые вектора. Я не буду, т.к. уже не очень хорошо помню аналит(6ой курс как-никак ^_^).

Итого решением будет
x1+k*x2, если (b,c)=0, в противном случае решений нет.

[korwi.livejournal.com]

Теперь как бы решал я.

1) Если (b,c) = 0 - решений нет, это следует из определению векторного произведения.
2) (b,c) != 0
a ортогонально с опять-таки по определению.
В плоскости, ортогональной с, можно задать систему координат двумя векторами - b и [b,c] (или B x С, физики обычно обозначают через x, математикии через [b,c], а кое-кто как [bxc])

Разложим а по базисным векторам:
a=k1*b+k2*[b,c]
Подставляем в наше уравнение, находим k1 и k2:
[k1*b+k2*[b,c],b]=c
k1*[b,b]+k2*[[b,c],b]=c
Но[b,b]=0, значит k1 -произвольное действительное чило.
k2*[[b,c],b]=c
k2*(-[b,[b,c])=c
[b,[b,c]] - двойное векторное произведение. Применяем известную формулу [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b)
k2*(-b(b,c)+c(b,b))=c
Т.к. (b,c)=0, то получаем k2*c(b,b)=c, т.е. k2 = 1/(b,b)
(Да, да заметим, что вектор b не должен быть нулевым. Я думаю все вырожденные варианты Вы разберёте сами(типа b=0, c=0 , b=c=0), кстати в предыдущем посте я забыл об этом упомянуть. =)

Итого a= k * b + 1/(b,b) * [b,c], k из R. Гораздо более красивое решение, да?

И вообще ботайте аналит, это интересно. =)))

Re: Рабоче-крестьянским методом

[cola-reanima.livejournal.com]

Спасибо =] Только чувствую не поможет.. наверня я вообще задачу не понял, раз оно все вот так..
На самом деле вся эта фигня в данном случае только инструмент подзабытый уже =]

[superbabka.livejournal.com]

Ох, зачем я вообще зашел на эту страницу...
AxB=C это же буквы! :P

[metallicat20.livejournal.com]

Насколько я помню алгебру, они не могут быть все 3 векторы, если помножить два вектора то получается скаляр...

[36-6.livejournal.com]

:)